Graph Problem

A.   PENGERTIAN GRAPH

Graph adalah himpunan noktah (simpul) di dalam bidang dua dimensi yang dihubungkan dengan himpunan garis (sisi / edge). Graph dapat digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graph adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik (Vertex), sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis (Edge).

Suatu graph didefinisikan oleh himpunan verteks dan himpunan sisi (edge). keterhubungan antara verteks. Biasanya untuk suatu graph G digunakan notasi matematis. Verteks menyatakan entitas-entitas data dan sisi menyatakan G = (V, E)

Dimana :
G = Graph
V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik
E = Busur atau Edge, atau arc

            Graph merupakan suatu cabang ilmu yang memiliki banyak terapan. Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graph, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graph. Seringkali graph digunakan untuk merepresentasikan suaru jaringan. Misalkan jaringan jalan raya dimodelkan graph dengan kota sebagai simpul (vertex/node) dan jalan yang menghubungkan setiap kotanya sebagai sisi (edge) yang bobotnya (weight) adalah panjang dari jalan tersebut.

 Ada beberapa cara untuk menyimpan graph di dalam sitem komputer. Struktur data bergantung pada struktur graph dan algoritma yang digunakan untuk memmanipulasi graph. Secara teori salah satu dari keduanya dapat dibedakan antara struktur list dan matriks, tetapi dalam penggunaannya struktur terbaik yang sering digunakan adalah kombinasi keduanya.

     1.    Graph tak berarah (undirected graph atau non-directed graph) :

Urutan simpul dalam sebuah busur tidak dipentingkan. Misal busur e1 dapat disebut busur AB atau BA.

     2.    Graph berarah (directed graph)

Urutan simpul mempunyai arti. Misal busur AB adalah e1 sedangkan busur BA adalah e8.

     3.    Graph Berbobot (Weighted Graph)

Jika setiap busur mempunyai nilai yang menyatakan hubungan antara 2 buah simpul, maka busur tersebut dinyatakan memiliki bobot.

Bobot sebuah busur dapat menyatakan panjang sebuah jalan dari 2 buah titik, jumlah rata-rata kendaraan perhari yang melalui sebuah jalan, dll.

Gambar yang menunjukkan suatu graph dengan 6 simpul dan 7 sisi.

                Berdasarkan gambar di atas mungkin ada yang mengira bahwa gambar tersebut mirip seperti struktur dari Tree. Ya memang benar gambar di atas mirip seperti Tree tetapi tentu saja itu bukan Tree, itu adalah gambar dari struktur Graph. Untuk lebih jelasnya akan sedikit dijelaskan mengenai Tree.

Tree dalam pemrograman merupakan struktur data yang tidak linear / non linear yang digunakan terutama untuk merepresentasikan hubungan data yang bersifat hierarkis antara elemen-elemennya. Kumpulan elemen yang salah satu elemennya disebut dengan root (akar) dan sisa elemen yang lain disebut sebagai simpul (node/vertex) yang terpecah menjadi sejumlah himpunan yang tidak saling berhubungan satu sama lain, yang disebut subtree / cabang.

Adapun Perbedaan Graph dengan Tree sebagai berikut:

      a.    Pada Tree tidak terdapat Cycle

      b.    Pada Graph tidak memiliki root

B.   ISTILAH-ISTILAH DALAM GRAPH

Di sini akan dijelaskan mengenai istilah-istilah yang ada kaitanya dengan graph, yaitu:

     a.    Vertex             : Himpunan node / titik pada sebuah graph.

     b.    Edge               : Himpunan garis yang menghubungkan tiap node / Vertex.

     c.    Adjacent        : Dua buah titik dikatakan berdekatan (adjacent) jika dua buah titik tersebut     terhubung dengan sebuah sisi. Adalah Sisi e3 = v2v3 insident dengan titik v2 dan titik v3,     tetapi sisi e3 = v2v3 tidak insident dengan titik v1 dan titik v4.

Titik v1 Adjacent dengan titik v2 dan v3, tetapi titi v1 tidak adjacent dengan titik v4.

     d.    Weight           : Sebuah graf G = (V, E) disebut sebuah graf berbobot (weight graph),            apabila terdapat sebuah fungsi bobot bernilai real W pada himpunan E, W : E € R, nilai        W(e) disebut bobot untuk sisi e, " e Î E. Graf berbobot tersebut dinyatakan pula sebagai        G=(V, E, W).

   Graf berbobot G = (V, E, W) dapat menyatakan :

·         Suatu sistem penghubung udara, di mana

ü  V = Himpunan kota-kota

ü  E = Himpunan penerbangan langsung dari satu kota ke kota lain.

ü  W = Fungsi bernilai real pada E yang menyatakan jarak atau ongkos atau waktu.

·         Suatu sitem jaringan computer, di mana

ü  V = Himpunan computer.

ü  E = Himpunan jalur komunikasi langsung antar dua komputer.

ü  W = Fungsi bernilai real pada E yang menyatakan jarak atau ongkos atau waktu.

    e.    Path                : Walk dengan setiap vertex berbeda. Contoh, P = D5B4C2A Sebuah Walk    (W) didefinisikan sebagai urutan (tidak nol) Vertex & Edge. Diawali origin Vertex dan              diakhiri terminus Vertex. Dan setiap 2 Edge berurutan adalah series. Contoh,                        W=A1B3C4B1A2.

    f.     Cycle              : Siklus ( Cycle ) atau Sirkuit ( Circuit ) Lintasan yang berawal dan berakhir      pada simpul yang sama.

C.   REPRESENTASI GRAPH

Dalam pemrograman, agar data yang ada dalam graph dapat diolah, maka graph harus dinyatakan dalam suatu struktur data yang dapat mewakili graph tersebut. Dalam hal ini graph perlu direpresentasikan kedalam bentuk array dan dimensi yang sering disebut matrix atau direpresentasikan dalam bentuk linked list. Bentuk mana yang dipilih biasanya tergantung kepada efisiensi dan kemudahan dalam membuat program. Berikut ini beberapa bentuk representasi graph:

       1.    Representasi Graph Dalam Bentuk Matrix

a.    Adjacency Matrik Graph Tak Berarah

Matrik yang digambarkan pada gambar 1b merupakan representasi dalam bentuk Adjacency Matrik dari graf yang digambarkan pada gambar 1a. Beberapa hal yang dapat dilihat atau dapat diterangkan pada Adjacency Matrik tersebut adalah sebagai berikut :

o   Matrik yang terbentuk adalah matrik bujur sangkar n x n, dimana n = jumlah simpul yang ada dalam graf tersebut. Matrik ini menyatakan hubungan antara simpul satu dengan simpul lainnya.

o   Matrik yang terbentuk adalah matrik simetris dengan sumbu simetris adalah diagonal dari titik kiri atas ke titik kanan bawah.

o   Data yang tedapat baik dalam baris maupun kolom, dapat menyatakan degree sebuah simpul. Contoh : baik pada baris D maupun kolom D jumlah angka 1 nya adalah 3 buah, dimana jumlah ini menyatakan degree simpul D.

b.    Adjacency Matrik Graf Berarah

Matrik yang digambarkan pada gambar 2b merupakan representasi dalam bentuk Adjacency Matrik dari graf yang digambarkan pada gambar 2a. Beberapa hal yang dapat dilihat atau dapat diterangkan pada Adjacency Matrik tersebut adalah sebagai berikut :

o   Matrik yang terbentuk adalah matrik bujur sangkar n x n, dimana n = jumlah simpul yang ada dalam graf tersebut. Matrik ini menyatakan hubungan antara simpul satu dengan simpul lainnya.

o  Matrik yang terbentuk mungkin simetris mungkin juga tidak simetris. Menjadi simetris bila hubungan antara dua buah simpul (v1 dan v2) terdapat busur dari v1 ke v2 dan juga sebaliknya.

o    Hal pokok yang dinyatakan oleh matrik ini adalah : busur yang ’keluar’ dari suatu simpul. Dengan demikian, data yang terdapat dalam suatu baris, dapat menyatakan outdegree simpul yang bersangkutan.

Contoh : Jumlah elemen yang nilainya = 1 pada baris B ada 3 elemen,ini menyatakan jumlah outdegree simpul B adalah 3 buah.

o  Data yang terdapat dalam suatu kolom, dapat menyatakan indegree simpul bersangkutan.

Contoh : Jumlah elemen yang nilainya 1 pada kolom B ada 2 elemen, ini menyatakan indegree simpul B adalah 2 buah.

c.    Adjacency Matrik Graf Berbobot Tak Berarah

Nilai yang ada dalam tiap elemen matrik, menyatakan bobot busur yang menghubungkan dua buah simpul yang bersangkutan. Untuk dua buah simpul yang tidak berhubungan langsung oleh sebuah busur, maka dianggap dihubungkan oleh sebuah busur yang nilai bobotnya tidak terhingga. Dalam pemograman, karena keperluan algoritma, maka dari total bobot seluruh busur yang ada atau yang mungkin ada.

Contoh: pada gambar 3a simpul A dan C tidak berhubungan langsung melalui sebuah busur, maka untuk elemen matrik yang bersangkutan diisi dengan nilai 999 karena nilai 999 dalam kasus ini cukup mewakili nilai tidak terhingga.

           2.    Representasi Graph Dalam Bentuk Linked List

a.    Adjacency List

Bila ingin direpresentasikan dalambentuk linked list, dapat diilustrasikan secara sederhana seperti gamabar 4b. Dari ilustrasi sederhana tersebut terlihat ada 5 buah simpul A,B,C,D,dan E yang dibariskan dari atas kebawah seperti pada gambar 4a. Kemudian dari masing-masing simpul ’keluar’ pointer kearah kanan yang menunjuk simpul-simpul lain. Salah satu contoh, yang dapat dilihat pada gambar 4b dimana A menunjuk simpul B dan simpul D.

Dalam Adjacency List, kita perlu membedakan antara simpul-vertex dan simpul-edge. Simpul-vertex untuk menyatakan simpul atau vertex, dan simpul-edge untuk menyatakan hubungan antar simpul yang biasa disebut busur. Struktur keduanya bisa sama, bisa juga tidak sama,tergantung kebutuhan.Untuk memudahkan pembuatan program, struktur kedua macam simpul dibuat sama seperti yang digambarkan pada gambar 5c. Yang membedakan antara simpul-vertex dan simpul-edge, adalah anggapan terhadap simpul tersebut. Dalam contoh ini, terlihat struktur simpul dibuat terdiri dari 3 elemen. Satu elemen untuk INFO, dua elemen untuk pointer.pointer kiri (left) dan pointer kanan (right).

Struct tipes

{

Struct tipes *Left;

int INFO;

Struct tipes *Right;

} ;

Struct tipes *First,*Pvertex,*Pedge;

                       

• ·         Bila simpul dianggap sebagai simpul-vertex, maka :

Pointer left digunakan untuk menunjuk simpul berikutnya dalam untaian simpul-simpul yang ada,atau diisi NULL bila sudah tidak ada simpul yang pelu ditunjuk.Sedangkan pointer Right digunakan untuk menunjuk simpul edge yang pertama.

• ·         Bila Simpul dianggap sebagai simpul-edge, maka :

Pointer left digunakan untuk menunjuk simpul-vertex ‘tujuan’ yang berhubungan dengan simpul-vertex ‘asal’ dan pointer right digunakan untuk menunjuk simpul-edge berkiutnya bila masih ada, atau diisi NULL bila tak ada lagi simpul-busur yang ditunjuk.

D.   CONTOH REPRESENTASI GRAPH DALAM BAHASA C

typedef struct vertex

{

char nama[100];

float x, y;

float status;

float jarak;

struct vertex *next,*connector;

};

typedef struct vertex *pvertex;

typedef struct edge

{

float jarak;

char titik1[100];

char titik2[100];

edge * next;

};

typedef struct edge * garis;

garis awalga = NULL, akhirga= NULL;

pvertex makeptree (float x, float y, char nama[])

{

pvertex baru;

baru=(pvertex)malloc(sizeof(struct vertex));

baru->x=x;

baru->y=y;

baru->status=0;

baru->next=NULL;

baru->connector=NULL;

strcpy(baru->nama,nama);

}

void makevertex (pvertex *vertex,float x,float y,char nama[])

{

pvertex p , q ;

p = makeptree(x,y,nama);

q = *vertex;

if(q == NULL)

*vertex = p ;

else

{

for(;q->next;q=q->next)

{

}

q->next = p;

}

}

void makeedge(garis * awalga, garis * akhirga, char titik1[], char titik2[], float jarak)

{

garis baru;

baru=(garis)malloc(sizeof(edge));

baru->jarak=jarak;

strcpy(baru->titik1,titik1);

strcpy(baru->titik2, titik2);

if(*awalga==NULL)

{

*awalga=baru;

*akhirga=baru;

}

else

{

(*akhirga)->next=baru;

(*akhirga)=baru;

}

}

void cek(pvertex vertex, int jumlah)

{

pvertex awal,p,q;

float jarak;

float min ;

float temp;

awal = vertex;

p = awal;

for(int i=0;i

{

min = 999;

p->status =1;

for(q=awal->next;q!=NULL;q=q->next)

{

if(q->status!=1)

{

jarak=(((p->x)-(q->x))*((p->x)-(q->x)))+(((p->y)-(q->y))*((p->y)-(q->y)));

jarak=sqrt(jarak);

if (min>jarak)

{

min = jarak;

p->jarak = min;

p->connector = q;

}

makeedge(&awalga,&akhirga,p->nama,q->nama,p->jarak);

}

}

p = p->connector;

}

temp=(((p->x)-(awal->x))*((p->x)-(awal->x)))+(((p->y)-(awal->y))*((p->y)-(awal->y)));

p->jarak = sqrt(temp);

p->connector = awal;

}

void displayedge(pvertex vertex,int jumlah)

{

pvertex list = vertex;

float tot;

tot += vertex->jarak;

printf("\n\t%s ke %s\n", list->nama,list->connector->nama);

list = list->connector;

for(int a=0; a

{

printf("\n\t%s ke %s\n", list->nama,list->connector->nama);

tot += list->jarak;

list = list->connector;

}

printf("\n");

}

E.   KAITAN SHORHEST PATH PROBLEM DALAM GRAPH

Lintasan terpendek merupakan salah satu dari masalah yang dapat diselesaikan dengan graf. Jika diberikan sebuah graf berbobot, masalah lintasan terpendek adalah bagaimana kita mencari sebuah jalur pada graf yang meminimalkan jumlah bobot sisi pembentuk jalur tersebut.

Terdapat beberapa macam persoalan lintasan terpendek antara lain:

•  Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu (a pair shortets path).
•  Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul (all pairs shortest path).
•  Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain (single-source shoertest path).
•  Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu (intermediate shortest path).

Jalur terpendek adalah suatu jaringan pengarahan perjalanan dimana sesorang pengarah jalan ingin menentukan jalur terpendek antara dua kota, berdasarkan beberapa jalur alternatif yang tersedia, dimana titik tujuan hanya satu. Gambar 2.6 menunjukkan suatu graf ABCDEFG yang berarah dan tidak berbobot.

1.    Pathing Algorhitm

Pathing Algorithm adalah sebuah algoritma yang digunakan untuk mencari suatu solusi dalam menentukan lintasan terpendek dari suatu graf. Saat ini terdapat banyak sekali algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan lintasan terpendek diantaranya Algoritma Djikstra ( djikstra algorithm ) dan Algoritma Bellman-Ford ( bellman-ford algorithm ).

2.    Algoritma Djikstra

Algoritma Dijkstra, dinamai menurut penemunya, Edsger Dijkstra, adalah algoritma dengan prinsip greedy yang memecahkan masalah lintasan terpendek untuk sebuah graf berarah dengan bobot sisi yang tidak negatif.

Algoritma Dijkstra merupakan salah satu varian bentuk algoritma populer dalam pemecahan persoalan yang terkait dengan masalah optimasi. Sifatnya sederhana dan lempang (straightforward). Sesuai dengan arti greedy yang secara harafiah berarti tamak atau rakus - namun tidak dalam konteks negatif -, algoritma greedy ini hanya memikirkan solusi terbaik yang akan diambil pada setiap langkah tanpa memikirkan konsekuensi ke depan.

Input algoritma ini adalah sebuah graf berarah yang berbobot (weighted directed graph) G dan sebuah sumber vertex s dalam G dan V adalah himpunan semua vertices dalam graph G.

Setiap sisi dari graf ini adalah pasangan vertices (u,v) yang melambangkan hubungan dari vertex u ke vertex v. Himpunan semua tepi disebut E. Bobot (weights) dari semua sisi dihitung dengan fungsi : w: E → [0, ∞), jadi w(u,v) adalah jarak tak-negatif dari vertex u ke vertex v. Ongkos (cost) dari sebuah sisi dapat dianggap sebagai jarak antara dua vertex, yaitu jumlah jarak semua sisi dalam jalur tersebut. Untuk sepasang vertex s dan t dalam V, algoritma ini menghitung jarak terpendek dari s ke t.

3.    Algoritma Bellman-Ford

Algoritma Bellman-Ford menghitung jarak terpendek (dari satu sumber) pada sebuah digraf berbobot. Maksudnya dari satu sumber ialah bahwa ia menghitung semua jarak terpendek yang berawal dari satu titik node. Algoritma Dijkstra dapat lebih cepat mencari hal yang sama dengan syarat tidak ada sisi (edge) yang berbobot negatif. Maka Algoritma Bellman-Ford hanya digunakan jika ada sisi berbobot negatif.

Algoritma Bellman-Ford menggunakan waktu sebesar O(V.E), di mana V dan E adalah menyatakan banyaknya sisi dan titik. Dalam konteks ini, bobot ekivalen dengan jarak dalam sebuah sisi.